Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．当x∈（0，1）时有：f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）结合f（-x）=-f（x），及x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

，可求x∈（-1，0）时得f（x），在f（-x）=-f（x）中可求f（0）=0
（2）利用函数的单调性的定义证明即可

解答：解：（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）
∵?x∈R，f（-x）=-f（x），且x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

，
∴x∈（-1，0）时，有f(x)=-f(-x)=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

..（3分）
在f（-x）=-f（x）中，令x=0，f（-0）=-f（0）⇒f（0）=0．（5分）
综上：当x∈（-1，1）时，有：f(x)=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x∈{0}

（7分）
（2）f（x）在（0，1）上是减函数（8分）
证明：设0＜x₁＜x₂＜1则x₂-x₁＞0，0＜x₁+x₂＜2，∴2x1+x2＞1，2x2＞2x1．（10分）
∴f(x2)-f(x1)=

2x2

4x2+1

-

2x1

4x1+1

=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

＜0（13分）
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，1）上是减函数（14分）

点评：本题主要考查了利用函数的性质求解函数的解析式，解题中不要漏掉x=0时的函数得解析式，利用函数的单调性的定义证明函数得单调性．