Question

在数列{a_n}中，an=n2-2λn(λ∈R)，若{a_n}是单调递增数列，则λ的取值范围为

(-∞，

3

2

)

．

Answer 1

分析：若数列{a_n}为单调递增数列，则a_n+1-a_n＞0对于任意n∈N^*都成立，得出2n+1-2λ＞0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．

解答：解：∵a_n=n²-2λn①，∴a_n+1=（n+1）²-2λ（n+1）②，
②-①，得a_n+1-a_n=2n+1-2λ．
若数列{a_n}为单调递增数列，则a_n+1-a_n＞0对于任意n∈N^*都成立，即 2n+1-2λ＞0．
移向得2λ＜（2n+1），2λ只需小于（2n+1）的最小值即可，而易知当n=1时，（2n+1）的最小值为3，
所以2λ＜3，解得λ＜

3

2

．
故答案为：（-∞，

3

2

）．

点评：本题考查数列的函数性质及恒成立问题，考查了转化能力、计算能力，分离参数法的应用．