Question

设函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N+，b，c∈R）。
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间内存在唯一的零点；
（2）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设x_n是f_n（x）在内的零点，判断数列x₂，x₃，…，x_n…的增减性。

Answer 1

解：（1）由于n≥2，b=1，c=-1，f_n（x）=xⁿ+bx+c=xⁿ+x-1，
∴f_n（）f_n（1）=（-）×1＜0，
∴f_n（x）在区间内存在零点
再由f_n（x）在区间内单调递增，可得f_n（x）在区间内存在唯一的零点。
（2）当n=2，函数f₂（x）=x²+bx+c，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
故函数f₂（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的差M≤4。
当＞1时，即b＞2或 b＜-2时，M=|f₂（-1）-f₂（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾
当-1≤-＜0时，即0＜b≤2时，M=f₂（1）-=≤4 恒成立
当0≤-≤1 时，即-2≤b≤0时，M=f₂（-1）-=≤4 恒成立
综上可得，-2≤b≤2。
（3）在（1）的条件下，x_n是f_n（x）=xⁿ+x-1在内的唯一零点，
则有f_n（x_n）=+x_n-1=0，f_n+1（x_n+1）=+x_n+1-1=0
当x_n+1∈时，f_n（x_n）=0=f_n+1（x_n+1）=+x_n+1-1＜+x_n+1-1=f_n（x_n+1）．由（1）知，f_n（x）在区间内单调递增，故有x_n＜x_n+1，故数列x₂，x₃，…，x_n单调递增数列。