Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切．
（1）求a与b；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F₁和F₂，直线l过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁与点P．求PF₁线段垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．

Answer 1

解：（1）e=，∴=，
又b==，∴a=，b=．
（2）由（1）知F₁，F₂分别为（-1，0），（1，0），
由题意可设P（1，t），（t≠0）那么线段PF₁中点为N（0，），
设M（x，y）是所求轨迹上的任意点，由=（-x，-y），=（-2，-t）
则，
消t得y²=-4x（x≠0）其轨迹为抛物线除原点的部分．
分析：（1）由题意以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切．圆心到直线的距离等于半径，以及离心率解得a与b．
（2）求出焦点坐标，设出P求出N，再设M、（x，y），利用垂直关系可求得轨迹方程．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，轨迹方程，椭圆的性质等知识，是综合性较强的题目．