Question

2．已知正项数列{a_n}中前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），求S_n及a_n．

Answer 1

分析 通过S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）及a_n=S_n-S_n-1写出前几项的值猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$并用数学归纳法证明即可．再求解S_n．

解答 解：依题意，a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），
解得：a₁=1或a₁=-1（舍）；
a₂=S₂-a₁
=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$）-a₁
=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$）-1，
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1或a₂=-$\sqrt{2}$-1（舍）；
a₃=S₃-a₁-a₂
=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$）-a₁-a₂
=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$）-1-（$\sqrt{2}$-1），
解得：a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或a₃=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（舍）；
猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$，
∴S_k=a₁+a₂+…+a_k
=1+（$\sqrt{2}$-1）+…+（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$）
=$\sqrt{k}$，
∴a_k+1=S_k+1-S_k
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\sqrt{k}$，
整理得：a_k+1²+2$\sqrt{k}$•a_k+1-1=0，
解得：a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$或a_k+1=-$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$（舍），
即当n=k+1时，a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$；
由①、②可知，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$+$\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}$）=$\sqrt{n}$．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．