Question

如图，三棱柱中，侧面底面，,且,O为中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值

Answer 1

（Ⅰ）证明略（Ⅱ）.

Ⅰ）先证明，根据平面平面，证得平面；（Ⅱ）向量法求解。
解：（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点，所以.   ………1分
又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面.       ………4分
（Ⅱ）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知，又
所以得:
则有：     ………6分 
设平面的一个法向量为，则有
，令，得
所以.                                 ………………7分
.                         ………………9分
因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以.