Question

例2：设数列{a_n}满足关系式：a₁=-1，a_n=

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an-1-3(n≥2，n∈N*)
试证：（1）试求数列{a_n}的通项公式．
（2）b_n=lg（a_n+9）是等差数列．
（3）若数列{a_n}的第m项的值am=

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(29-38)，试求m

Answer 1

分析：（1）由题意可知an+9=

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[(an-1)+9] ，n≥2，n∈N*，令T_n=a_n+9，则Tn是公比为

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的等比数列，，由此可知T1=a1+9=8，Tn=12×(

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)n，从而导出an=12×(

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)n-9．
（2）由题意可知b_n=lg（a_n+9）=lg12+（lg2-lg3）n．所以{bn}是公差为（lg2-lg3）的等差数列．
（3）由题设条件得a_m=（2⁹-3⁸）÷3⁶=8×(

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)6-9=12×(

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)7-9，即a_m=a₇，所以m=7．

解答：解：（1）∵a₁=-1，a_n=

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an-1-3(n≥2，n∈N*)，
∴an+9=

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an-1+6，n≥2，n∈N*，
∴an+9=

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3

[(an-1)+9] ，n≥2，n∈N*，
令T_n=a_n+9，则Tn是公比为

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的等比数列，T1=a1+9=8，Tn=12×(

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)n，
∴an=12×(

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)n-9，
（2）∵b_n=lg（a_n+9）=lg[12×(

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)n] =lg12+nlg

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，
=lg12+（lg2-lg3）n．
由数列{b_n}通项公式可知，{bn}是公差为（lg2-lg3）的等差数列．
（3）若数列数列{a_n}的第m项的值am=

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(29-38)，化简得
a_m=（2⁹-3⁸）÷3⁶=8×(

2

3

)6-9=12×(

2

3

)7-9
由a_n通项公式可知，a_m=a₇，m=7．

点评：本题考查数列知识人综合运用，解题时要注意计算能力的培养．