Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD=BC=

1

2

AB，∠ABC=

π

3

．
（Ⅰ）求证：△BCE为直角三角形；
（Ⅱ）若AE=AB，求CE与平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用余弦定理，推导出AC⊥BC，由此入手能证明△BCE为直角三角形．
（Ⅱ）以点C为坐标原点，

CA

，

CB

，

AE

的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ADE所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，
∵BC=

1

2

AB，∠ABC=

π

3

，
∴由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos

π

3

=3BC²，
∴AC=

3

BC，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BC，
又∵AC∩AE=A，
∴BC⊥平面ACE，∴BC⊥CE，
∴△BCE为直角三角形．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AC⊥BC，AE⊥平面ABCD，
以点C为坐标原点，

CA

，

CB

，

AE

的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
设BC=a，则AE=AB=2a，AC=

3

a，
如图2，在等腰梯形ABCD中，
过点C作CG⊥AB于点G，则GB=

1

2

a，
∴CD=AB=2GB=a，
过点D作DH⊥BC于H，
由（Ⅰ）知∠DCH=60°，
∴DH=

3

2

a，CH=

a

2

，
∴D（

3 a

2

，-

a

2

0）．
又∵C（0，0，0）A（

3

a，0，0），B（0，a，0），E（

3

a，0，2a），
∴

AD

=(-

3

2

a，-

a

2

，0)，

AE

=（0，0，2a），

CE

=（

3

a，0，2a），
设平面ADE的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

AD

•

n

=0，

AE

•

n

=0，
∴

- 3 a 2 x- a 2 y=0 2az=0

，∴

n

=（

3

，-3，0），
设CE与平面ADE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

CE

，

n

＞|=|

3a

7 a

•

12

|=

21

14

，
∴直线CE与平面ADE所成角的正弦值为

21

14

．

点评：本题考查三角形为直角三角形的证明，考要查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．