Question

已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（　　）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

Answer 1

设正四面体S-ABC的棱长为a，则AB=SB=a，
∵AS²=AB²+SB²-2AB•SBcos∠ABS，
∴4a²=3a²+3a²-2×3a²•cos∠ABS，
∴cos∠ABS=

1

3

，
∴sin∠ABS=

2 2

3

，
设SB=b，则O₁P=b，
过P作PE⊥BC，垂足为E，
连接O₁E，则O₁E⊥BC，
∴sin∠O1PE=

2 2

3

，
在Rt△PO₁E中，
PE=

O1P

2 2 3

=

3b

2 2

，
∴

SP

SE

=

b

3b 2 2

=

2 2

3

＜1，
由椭圆定义知动点P的轨迹所在的曲线是椭圆．
故选B．