Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD与底面ABCD垂直，E为PA的中点．

（1）求证：

（2）求证：DE∥平面PBC；

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；四是利用线面平行的定义，一般用反证法；（3）利用判断定理证明有关问题时，要把条件写全，不用漏掉一些条件，注意转化思想的应用

试题解析：证明：（1）∵AD⊥AB，CD∥AB，

∴ 2分

又∵侧面与底面ABCD垂直且交线为，

∴垂直侧面 4分

又∵∴ 6分

（2）如图，取AB的中点F，连接DF，EF．

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以，

所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC 8分

又∵

∴DF∥平面PBC.

在△PAB中，PＥ=EA，AF=FB，所以EF//PB． 9分

又

∴∥平面

又因为，

所以平面∥平面． 11分

因为平面，所以∥平面． 12分

考点：（1）证明直线与直线垂直；（2）证明直线与平面平行.