Question

对定义域分别为D_f、D_g的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h(x)=

f(x)•g(x)(x∈Df且x∈Dg) f(x)(x∈Df且x∉Dg) g(x)(x∉Df且x∈Dg).

（1）若函数f(x)=

1

x-1

，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（2）求（1）问中函数h（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=

1

x-1

，g（x）=）=x²，代入h(x)=

f(x)•g(x)(x∈Df且x∈Dg) f(x)(x∈Df且x∉Dg) g(x)(x∉Df且x∈Dg).

可求；
（2）分x≠1和x=1两种情况进行讨论，x≠1时按x＜1和x＞1两种情况讨论分别利用基本不等式可求；

解答：解：（1）由x-1≠0，得x≠1，
∴D_f=（-∞，1）∪（1，+∞），
∵g（x）=x²，∴D_g=R，则D_f∩D_g=（-∞，1）∪（1，+∞），{x|x∈D_f且x∉D_g}=∅，{x|x∉D_f且x∈D_g}={1}，
又f（x）•g（x）=

x2

x-1

，
∴根据规定可得：h（x）=

x2 x-1 ，x∈(-∞，1)∪(1，+∞) 1，x=1

．
（2）当x≠1时，h（x）=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，
①若x＞1，h（x）≥2

(x-1)• 1 x-1

+2=4，其中等号当x=2时成立；
②若x＜1，h（x）=-[（1-x）+

1

1-x

]+2≤-2

(1-x)• 1 1-x

+2=-2+2=0，其中等号当x=0时成立；
当x=1时，h（x）=1；
∴函数h（x）的值域是（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）．

点评：本题主要考查分段函数解析式的求法，考查学生对新定义问题的理解，细心审题，准确把握题意是解决本题的关键．