Question

若曲线C：y=ax+lnx存在斜率为1的切线，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在斜率为1的切线，得到此时斜率为1，问题转化为x＞0范围内导函数 f′(x)=a+

1

x

=1存在实数解，再将之转化为a=1-

1

x

进行实数a的取值范围即可．

解答：解：由题意该函数的定义域x＞0，由f′(x)=a+

1

x

．
因为存在斜率为1的切线，
故此时斜率为1，问题转化为x＞0范围内导函数 f′(x)=a+

1

x

=1存在实数解．
再将之转化为a=1-

1

x

∵x＞0，
∴a＜1
故答案为：{a|a＜1}．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，方程有解等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力与转化思想，属于基础题．