Question

在边长为2的正△ABC内随机取一点，取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率为（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  π

  2 3

• C．1-

  π

  2 3

• D．

  π

  3

  -1

Answer 1

分析：先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．

解答：解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：
其中正三角形ABC的面积S_三角形=

3

4

×4=

3

满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，
则S_阴影=

1

2

π
则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是
P=

S空白部分

S三角形

3 - 1 2 π

3

=1-

π

2 3

．
故选C．

点评：本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=

N(A)

N

求解．