Question

在数列{a_n}中，a1=1，an=

an-1

can-1+1

（c为常数，n∈N*，n≥2），又a₁，a₂，a₅成公比不为l的等比数列．
（I）求证：{

1

an

}为等差数列，并求c的值；
（Ⅱ）设{b_n}满足b1=

2

3

，bn=an-1an+1(n≥2，n∈N*)，证明：数列{b_n}的前n项和Sn＜

4 n 2   -n

4 n 2   -1

．

Answer 1

分析：（I）由题意可得a_n≠0，由已知可得

1

an

=

1

an-1

+c可证数列{

1

an

}是等差数列，结合等差数列的 通项公式可求

1

an

，进而可求a_n，然后由a₁，a₂，a₅成公比不为l的等比数列可求c
（II）由（I）可求a_n，进而可求b_n，利用裂项法可求S_n，即可证明

解答：（I）证明：若a_n=0，（n≥2）则，则a_n-1=0与a₁=1矛盾
∴a_n≠0
∵a1=1，an=

an-1

can-1+1

∴

1

an

=

1

an-1

+c
∴数列{

1

an

}是以c为公差，以

1

a1

=1为首项的等差数列
∴

1

an

=1+(n-1)c
∴an=

1

nc+1-c

∴a2=

1

1+c

，a3=

1

1+4c

∵又a₁，a₂，a₅成公比不为l的等比数列
∴a22=a₁a₅
即(

1

1+c

)2=

1

1+4c

解得c=0或c=2
当c=0时，a₁=a₂=a₅，故舍去
∴c=2
（II）∵an=

1

2n-1

∴b1=

2

3

，bn=

1

(2n-3)(2n+1)

=

1

4

(

1

2n-3

-

1

2n+1

)
当n=1时，S1=

2

3

当n≥2时，Sn=

2

3

+

1

4

（1-

1

5

+

1

3

-

1

7

+

1

5

-

1

9

+…+

1

2n-3

-

1

2n+1

）
=

2

3

+

1

4

（1+

1

3

-

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

n

4n2-1

=

4n2-n-1

4n2-1

＜

4n2-n

4n2-1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，等比数列的性质的应用及裂项求和方法的应用，本题中的裂项求和具有一定的难度