Question

如图，椭圆+=1 （a＞b＞0）的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=-1上，且椭圆的离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN．

Answer 1

（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意，得b=1． （1分）
∵e==，a²-c²=b²=1，
∴a²=4．（3分）
∴椭圆的标准方程为．（4分）
（Ⅱ）证明：设P（x₁，y₁），x₁≠0，
则Q（0，y₁），且．
∵M为线段PQ中点，∴M（）．（5分）
又A（0，1），∴直线AM的方程为y=．
∵x₁≠0，∴y₁≠1．
令y=-1，得C（）． （8分）
又B（0，-1），N为线段BC的中点，
∴N（，-1）．（9分）
∴=（）． （10分）
∴=+y₁•（y₁+1）
=+
=
=1-（1+y₁）+y₁=0．（12分）
∴OM⊥MN．
分析：（Ⅰ）依题意，得b=1．由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），x₁≠0，则Q（0，y₁），且．由M为线段PQ中点，知M（）．由A（0，1），知直线AM的方程为y=．由此能够证明OM⊥MN．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段垂直的证明．解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的灵活运用，合理地进行等价转化．