Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=3a_n+1，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}×（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由S_n=3a_n+1，S_n-1=3a_n，则可得3a_n+1=4a_n．再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：当n=1时，a₁=3a₂，
∴a₂=$\frac{1}{3}$
当n≥2时，
由S_n=3a_n+1，S_n-1=3a_n，
∴a_n=3a_n+1-3a_n，
∴3a_n+1=4a_n．
∴a_n+1=$\frac{4}{3}$a_n，
∴从第二项开始，数列{a_n}是$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{4}{3}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}×（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{3}×（\frac{4}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$

点评 本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式，属于基础题．