Question

已知顶点在原点O，准线方程是y=-1的抛物线与过点M（0，1）的直线交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1。
（Ⅰ）求此抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求直线的方程；
（Ⅲ ）求直线与抛物线相交弦AB的弦长。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知抛物线焦点在y轴正半轴，
设抛物线的标准方程为，
由准线方程是y=-1，可得p=2，
所以抛物线的标准方程为。
（Ⅱ）设直线的方程为：y=kx+1，
代入抛物线的标准方程，消y整理得，
设，，
则，                                         ①
因为，，代入①，
得，                              ②
因为，，代入②得k=1，
所以直线的方程为：y=x+1。
（Ⅲ）将直线方程与抛物线的标准方程联立得：，
消y整理得，
因为，，
∴。