Question

15．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求证：${a^2}≥（2-\sqrt{3}）bc$；
（Ⅲ）若a=b，且BC边上的中线AM长为$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用诱导公式化简求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（Ⅱ）表示出所证不等式左右两边之差，利用余弦定理及完全平方公式性质化简，判断差的正负即可得证；
（Ⅲ）由a=b，得到A=B，求出C的度数，在三角形AMC中，由AM的长与cosC的值，求出AC的长，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答 解：（Ⅰ）∵bcosC+ccosB=2asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAsinA，
即sin（B+C）=2sinAsinA?sinA=2sinAsinA，
∵sinA＞0，∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵a≤b≤c，
∴0＜A≤$\frac{π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵a²-（2-$\sqrt{3}$）bc=b²+c²-2bccos$\frac{π}{6}$-（2-$\sqrt{3}$）bc=b²+c²-2bc=（b-c）²≥0，
∴a²≥（2-$\sqrt{3}$）bc；
（Ⅲ）由a=b及（Ⅰ）知A=B=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$，
设AC=x，则MC=$\frac{1}{2}$x，
又AM=$\sqrt{7}$，
在△AMC中，由余弦定理得AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，
即x²+（$\frac{x}{2}$）²-2x•$\frac{x}{2}$•cos120°=7，
解得：x=2，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$x²sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．