Question

15．棱长为a正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱A₁B₁，B₁C₁的中点，点P是棱AB上一点，且AP=$\frac{a}{3}$，过点P，M，N的平面与直线CD交于一点Q，则PQ的长为$\sqrt{2}a$．

Answer 1

分析 可根据条件先画出图形，然后找出过P，M，N的平面：根据MN∥A₁C₁∥AC，从而找过P平行于AC的直线，这样就可找出过点M，N，P的平面，并求出该直线和DC的交点，从而结合图形即可求出PQ的长度．

解答 解：如图，

在BC上取$C{P}_{1}=\frac{a}{3}$，连接PP₁；
则MN∥PP₁，延长PP₁，则交DC延长线于Q；
∴PQ=PP₁+P₁Q=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a+\frac{\sqrt{2}}{3}a=\sqrt{2}a$．
故答案为：$\sqrt{2}a$．

点评 考查正方体的画法，数形结合解题的方法，以及平行线分线段成比例定理，两平行线可确定一平面，直角三角形的边的关系，三角函数定义．