Question

已知函数f（x）是函数y=

2

10x+1

-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=

4-3x

x-1

的图象关于直线y=x-1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的解析式及定义域．
（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为（1+y，x-1）．由此可知g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．从而得到F（x）的解析式及定义域．
（2）由f（x）和g（x）都是减函数，知F（x）在（-1，1）上是减函数．由此可知不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．

解答：解：（1）由y=

2

10x+1

-1（x∈R），得10^x=

1-y

1+y

，
x=lg

1-y

1+y

．
∴f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为（1+y，x-1）．
由题设知点P′（1+y，x-1）在函数y=

4-3x

x-1

的图象上，
∴x-1=

4-3(1+y)

1+y-1

．
∴y=

1

x+2

，即g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

1-x

1+x

+

1

x+2

，其定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）∵f（x）=lg

1-x

1+x

=lg（-1+

2

1+x

）（-1＜x＜1）是减函数，
g（x）=

1

x+2

（-1＜x＜1）也是减函数，
∴F（x）在（-1，1）上是减函数．
故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．

点评：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了