Question

已知f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

．
（I）求f（x）的最大值，及当取最大值时x的取值集合．
（II）在三角形ABC中a、b、c分别是角A、B、C所对的边，对定义域内任意x有f（x）≤f（A），且b=1，c=2，求a的值．

Answer 1

分析：（I）将函数f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

，利用辅助角公式化简，再利用三角函数的性质，可求f（x）的最大值及当取最大值时x的取值集合．
（II）根据对定义域内任意x有f（x）≤f（A），求得A=

π

3

，再利用余弦定理，即可求得结论．

解答：解：（I）f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

=2

3

sinx+2cosx=4sin(x+

π

6

)．
当x+

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)时，即x=2kπ+

π

3

(k∈Z)，f（x）取得最大值为4
∴f（x）的最大值为4，最大值时x的取值集合为{x|x=2kπ+

π

3

，(k∈Z)}．
（II）∵对定义域内任意x有f（x）≤f（A），
∴A=2kπ+

π

3

(k∈Z)
∵A为三角形的内角
∴A=

π

3

∵b=1，c=2，
∴a²=b²+c²-2bccosA=3
∴a=

3

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查余弦定理的运用，解题的关键是化简函数．