Question

5．定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，对任意的a，b∈R都有f（a+b）=f（a）•f（b）且对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（1）求f（0）；
（2）证明：函数y=f（x）在R上是增函数；
（3）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用a=b=0，直接求解函数值即可．
（2）结合已知条件，利用函数的单调性的定义直接证明即可．
（3）利用已知条件转化为二次不等式求解即可．

解答 解：（1）令a=b=0，f（0）=[f（0）]²，又∵f（0）≠0，∴f（0）=1（2分）
（2）证明：设任意x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）•f（x₁），
∵f（x₁）＞0，∴$\frac{{f（{x_2}）}}{{f（{x_1}）}}=f（{x_2}-{x_1}）＞1$，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数y=f（x）在R上是增函数；（7分）
（3）f（x）f（2x-x²）=f（3x-x²）＞f（0），
∵f（x）是R上增函数，
∴3x-x²＞0，
∴0＜x＜3（12分）

点评 本题考查抽象函数的应用，赋值法以及转化思想的应用，考查计算能力．