Question

1．设正数列{a_n}的前n项何为S_n，满足S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，记数列{b_n}前n项和为T_n，求T_n．．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n计算、整理可得a_n+1-a_n=2，进而计算可得结论；
（2）通过裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²，
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=$\frac{1}{4}$（a_n+1+1）²-$\frac{1}{4}$（a_n+1）²
=$\frac{1}{4}$${{a}_{n+1}}^{2}$-$\frac{1}{4}$${{a}_{n}}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n，
∴$\frac{1}{2}$（a_n+1+a_n）=$\frac{1}{4}$${{a}_{n+1}}^{2}$-$\frac{1}{4}$${{a}_{n}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
又∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=S₁=$\frac{1}{4}$（a₁+1）²，
∴a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．