Question

某校研究性学习小组利用假期时间从年龄在[25，55]内的人群中随机抽取n人，进行是否具有终身学习观念的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组别	年龄段	具有终身学习观念的人数	具有终身学习观念的人数 本组人数
第一组	[25，30）	120	0.6
第二组	[30，35）	195	0.65
第三组	[35，40）	100	p
第四组	[40，45）	60	0.4
第五组	[45，50）	a	0.3
第六组	[50，55]	15	0.3

（I）补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；
（II）从年龄在[40，50）内且具有终身学习观念的人中采用分层抽样法抽取12人参加某项学习活动，从这12名中再选取3人作为领队，记这3名领队中年龄在[40，50）内的人数为X，求X的分布列和期望EX．

Answer 1

分析：（I）根据所给的除去第三小组以外的小矩形的长与宽，得到第三小组的频率．进而得到矩形高，画出频率分步直方图．根据频数，频率和样本容量之间的关系做出字母的值．
（II）由题意知变量的可能取值，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列和期望值．

解答：解：（I）第三小组的频率为1-（0.04+0.06+0.03+0.02+0.01）×5=0.2∴小矩形的高为0.04，频率分步直方图如下：
第一组的人数为

120

0.6

=200，
频率为0.04×5=0.2
∴n=

200

0.2

=1000
∴p=

100

200

=0.5，a=100×0.3=30
（II）∵[40，45）年龄段的具有终身学习观念的人中采用分层抽样法抽取12人参加某项学习活动，
[40，45）年龄段要抽8人，[45，50）要抽4人，
随机变量X的可能取值是0，1，2，3
P（X=3）=

C 0 8 C 3 4

C 3 12

=

1

55

，P（X=2）=

12

55

，P（X=，1）=

28

55

，P（X=0）=

14

55

∴X的分布列是  

X	3	2	1	0
P	1 55	12 55	28 55	14 55

∴EX=

1

55

×3+

12

55

×2+

28

55

×1=1

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是正确使用频率分步直方图，从图形中能够找到要用的条件．