Question

在Rt△ABC中,AC=BC=1,∠BCA=90°.现将△ABC沿着平面ABC的法向量平移到△A₁B₁C₁位置,已知AA₁=2,分别取A₁B₁、A₁A的中点P、Q.

(1)求的长;

(2)求cos〈〉,cos〈〉,并比较〈〉与〈〉的大小;

(3)求证:AB₁⊥C₁P.

Answer 1

解：(1)以C为原点O,建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz,则由已知,得

C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C₁(0,0,2),P(,,2),Q(1,0,1),

B₁(0,1,2),A₁(1,0,2).

∴=(1,-1,1),=(0,1,2),

=(1,-1,2),=(-1,1,2),

=(,,0).

(2)

∴cos〈〉

又=0-1+4=3,

∴cos〈〉

又

∴〈〉,〈〉∈(0,).

又y=cosx在(0,)内单调递减,?

∴〈〉＞〈〉.

(3)证明:又=(-1,1,2)·(,,0)=0,

∴⊥,即AB₁⊥C₁P.

绿色通道：

两向量所成的角θ∈［0,π］,第(3)问中,将欲证的⊥转化为⊥,再利用向量垂直的坐标运算就轻易解决了.这种转化思想是数学的重要思想.