Question

已知圆x²+y²-4ax+2ay+20（a-1）=0．
（1）求证对任意实数a，该圆恒过一定点；
（2）若该圆与圆x²+y²=4相切，求a的值．

Answer 1

（1）证明：将圆的方程整理为（x²+y²-20）+a（-4x+2y+20）=0，
令可得
所以该圆恒过定点（4，-2）．
（2）解：圆的方程可化为（x-2a）²+（y+a）²=5a²-20a+20=5（a-2）²，所以圆心为（2a，a），半径为|a-2|．
若两圆外切，则|a|=2+|a-2|，由此解得a=1+．
若两圆内切，则|a|=|2-|a-2||，由此解得a=1-或a=1+（舍去）．
综上所述，两圆相切时，a=1-或a=1+．
分析：（1）将a分离，可得（x²+y²-20）+a（-4x+2y+20）=0，对任意实数a成立，则，由此可得结论；
（2）利用两圆外切，内切，分别求出a的值，即可得到结论．
点评：本题考查圆过定点，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．