Question

a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a．如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，则a的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，]∪[1，+∞）
分析：先确定a≠0，将f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，转化为=在[-1，1]上有解，求出函数y=在[-1，1]上的值域，即可确定a的取值范围．
解答：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
∵f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，∴（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解
∴=在[-1，1]上有解，
问题转化为求函数y=在[-1，1]上的值域．
设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x=3-t，t∈[1，5]，
∴y=（t+-6），
设 g（t）=t+，∴g′（t）=1-，t∈[1，）时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，
t∈（，5]时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，
∴y的取值范围是[3-3，1]，
∴∈[3-3，1]，
∴a≥1或a≤．
故答案为（-∞，]∪[1，+∞）．
点评：本题考查二次函数在给定区间上的零点问题，解题的关键是分离参数，转化为=在[-1，1]上有解，属于中档题．