Question

已知圆E经过点A（2，-3）、B（-2，-5），且圆心在直线x-2y-3=0上．
（1）求圆E的方程；
（2）若直线x+y+m=0与圆E交于P、Q两点，且 EP⊥EQ，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据圆心E在直线x-2y-3=0，可设圆心E（ 2b+3，b ），由|EA|=|EB|列出方程解出 b=-2，求得圆心E的坐标即半径，从而得到圆的标准方程．
（2）设圆心到直线的距离为d，由题意可得 d=

r

2

，即

|-1-2+m|

2

=

10

2

，解此方程求出m的值．

解答：解：（1）∵圆心E在直线x-2y-3=0，可设圆心E（2b+3，b ）．
由|EA|=|EB|可得

(2b+3-2)2+(b+3)2

=

(2b+3+2)2+(b+5)2

，
平方化简可得 5b²+10b+10=5b²+30b+30，
解得 b=-2，故点E（-1，-2）．
由两点间距离公式得r² =|EA|²=10，
所以，圆的方程为（x+1）²+（y+2）²=10．
（2）由题意可得△EPQ为等腰直角三角形，EP=EQ=r=

10

，
设圆心到直线PQ的距离为d，可得 d=

r

2

，
再由点E（-1，-2），PQ的方程为x+y+m=0，故有

|-1-2+m|

2

=

10

2

，
解得m=3±

10

．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键．直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．