Question

设一个圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l．
（1）若r=2，h=6，求圆锥的侧面积M_c，表面积M_b和体积V；
（2）判断各种不同形状的圆锥，表达式

(Mb-Mc)Mb(2Mc-Mb)

V2

是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用圆锥的侧面积公式，表面积公式，体积公式求解即可．
（2）利用（1）的公式，代入表达式

(Mb-Mc)Mb(2Mc-Mb)

V2

化简，结合圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，满足勾股定理，即可推出结果．

解答：解：（1）依题意得M_c=πrl…①M_b=πrl+πr²…②V=

1

3

πr2h…③
∵r=2，h=6，∴l²=r²+h²=2²+6²=40，∴l=2

10

．
代入已知条件得Mc=4

10

π，Mb=4(1+

10

)π，V=8π．（6分）
（2）证明：由（1）①②③得：

(Mb-Mc)Mb(2Mc-Mb)

V2

=

9π(l2-r2)

h2

（10分）
又因为圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，
∴h²+r²=l²所以

(Mb-Mc)Mb(2Mc-Mb)

V2

=9π（定值）．              （12分）

点评：本题是基础题，考查圆锥的体积，表面积，侧面积的求法，注意圆锥的底面半径，高，母线满足的勾股定理，是解题的关键，考查计算能力．