Question

已知函数f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为(-1，

1

3

)，且对任意的a，β∈R，恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足a1=1，3an+1=1-

1

f(an+1)-f(an)- 3 2

(n∈N*)，求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

1

an

，在（2）的条件下，若数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n•cos（b_nπ）}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由不等式的解集设出f（x）+2的两根式，对角α，β取特值后得到f（1）=1，由此可取函数f（x）的解析式；
（2）求出f（a_n+1），f（a_n），代入已知的等式中化简得到数列{

1

an

}为等差数列，求出数列{

1

an

}的通项公式后可求数列{a_n}的通项公式；
（3）由bn=

1

an

，求出cos（b_nπ），然后分n为偶数和奇数讨论求解数列{S_n•cos（b_nπ）}的前n项和T_n．

解答：解：（1）设f（x）+2=a(x+1)(x-

1

3

)(a＞0)，即f(x)=ax2+

2a

3

x-

a

3

-2．
取α=

π

2

，β=π，代入f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0，则f（1）≤0，f（1）≥0同时成立，
故f（1）=0，解得a=

3

2

，故f(x)=

3

2

x2+x-

5

2

；
（2）∵f(an+1)-f(an)=

3

2

(an+1)2+(an+1)-

3

2

-(

3

2

an2+an-

3

2

)=3an+

5

2

．
∴3an+1=1-

1

f(an+1)-f(an)- 3 2

=1-

1

3an+1

=

3an

3an+1

．
即

1

an+1

=

1

an

+3．故数列{

1

an

}为等差数列．
∵

1

a1

=1，∴

1

an

=3n-2，an=

1

3n-2

；
（3）∵b_n=3n-2，∴cos(bnπ)=cos(3n-2)π=

-1  n=2k-1 1    n=2k

k∈N*
即Sn•cos(bnπ)=(-1)nSn，∴Tn=-S1+S2-S3+S4-…+(-1)nSn．
①当n为偶数时，T_n=（-S₁+S₂）+（-S₃+S₄）+…+（-S_n-1+S_n）
=b2+b4+…+bn=

3n2+2n

4

．
②当n为奇数时，
Tn=Tn-1-Sn=

3(n-1)2+2(n-1)

4

-

n(1+3n-2)

2

=

-3n2-2n+1

4

．
综上，Tn=

-3n2-2n+1 4 (n为奇数) 3n2+2n 4 (n为偶数)

．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数列的函数特性，考查了数列的递推式及数列的和，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生综合处理和解决问题的能力，是有一定难度题目．