Question

14．如图，在几何体ABCD-EFG中，下地面ABCD为正方形，上底面EFG为等腰直角三角形，其中EF⊥FG，且EF∥AD，FG∥AB，AF⊥面ABCD，AB=2FG=2，BE=BD，M是DE的中点．
（1）求证：FM∥平面CEG；
（2）求几何体G-EFC的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，取EC的中点N，连接GN，MN．利用三角形的中位线定理可得：MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，又DC$\underset{∥}{=}$AB，FG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，即可证明四边形MNGF是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．
（2）利用正方形的性质可得对角线BD，可得BE．利用线面垂直的性质与判定定理可得AF⊥底面EFG．利用勾股定理可得BF²=BE²-EF²=AB²+AF²，解得AF．利用几何体G-EFC的体积V=$\frac{1}{3}•{S}_{△EFG}•AF$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
取EC的中点N，连接GN，MN．又M是DE的中点．
∴MN是△CDE的中位线，
∴MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，又DC$\underset{∥}{=}$AB，FG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴$MN\underset{∥}{=}FG$，
∴四边形MNGF是平行四边形，
∴FM∥GN．
又MF?平面CEG，NG?平面CEG；
∴FM∥平面CEG．
（2）解：正方形ABCD的边长AB=2，
∴对角线BD=2$\sqrt{2}$，
∴BE=2$\sqrt{2}$．
∵AF⊥面ABCD，
∴AF⊥AD，AF⊥AB，又EF∥AD，FG∥AB，
∴AF⊥EF，AF⊥FG，
∴AF⊥底面EFG．又EF⊥FG，FG∩AF=F．
∴EF⊥平面ABGF．
∴EF⊥BF．
∴BF²=BE²-EF²=AB²+AF²，
∴$（2\sqrt{2}）^{2}$-1²=2²+AF²，解得AF=$\sqrt{3}$．
∴几何体G-EFC的体积V=$\frac{1}{3}•{S}_{△EFG}•AF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了空间位置关系、体积计算，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．