Question

设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1且1∉A．
（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．
（2）A能否为单元素集合？请说明理由．
（3）若a∈A，证明：1-∈A．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，若2∈A，则有=-1，又有=，而=2，综合分析可得A中的元素；
（2）用反证法，如果A为单元素集合，则a=有解，对其变形可得a²-a+1=0，分析可得这个二次方程无解，可得矛盾，即可得证明；
（3）根据题意，由a∈A可得∈A，进而可得∈A，对变形可得=1-，即可得证明．
解答：解：（1）∵2∈A，
∴==-1∈A；
∴==∈A；
∴==2∈A．
因此，A中至少还有两个元素：-1和．
（2）用反证法，如果A为单元素集合，则a=有解，
整理得a²-a+1=0，
由△=1-4=-3＜0，则该方程无实数解，
故在实数范围内，A不可能是单元素集．
（3）证明：a∈A⇒∈A⇒∈A，
而=-=1-，即1-∈A．
点评：本题考查元素与集合的关系，关键是理解集合A的含义．