Question

(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.

（理）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点），过点作一直线交椭圆于、两点 .

(1)求椭圆的方程；

(2)求面积的最大值；

(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）与共线。

【解析】

试题分析：解:(1)由，得            2分

a²=2,b²=1

所以，椭圆方程为.      4分

(2)由 ，得(m²+2)y²+2my-1=0, 

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，由条件可知，点.

=|FT||y₁-y₂|==     6分

令t=，则t，

则==，当且仅当t=，即m=0

(此时PQ垂直于x轴)时等号成立，所以的最大值是.     10分

(3) 与共线                11分

(x₁,-y₁)，=(x₂-x₁,y₂+y₁)，=(x₂-2,y₂)        12分

由(x₂-x₁)y₂-(x₂-2)(y₁+y₂)

=-x₁y₂-x₂y₁+2(y₁+y₂)

=-(my₁+1)y₂-(my₂+1)y₁+2(y₁+y₂)

=-2my₁y₂+(y₁+y₂)

=-2m+

=0，所以，与共线          16分

考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合应用。

点评：有关直线与椭圆的综合应用，我们通常用设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理。