Question

如图以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点Q在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．

(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；

(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值；

(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：设正方体的棱长为a． 　　(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是()． 　　因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)． 　　． 　　当z＝时，|PQ|的最小值为．即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值． 　　(2)因为P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQ⊥AB时，|PQ|最短．因为当点Q为棱CD的中点时，|AQ|＝|BQ|，△QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时，|PQ|取得最小值． 　　(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，|PQ|的最小值仍然是．