Question

在数列{a_n}中，a₁=1，2an+1=(1+

1

n

)2an．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-

1

2

an，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，由此可知an=

n2

2n-1

．
（Ⅱ）由题设条件知Sn=

3

2

+

5

22

++

2n+1

2n

，

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

++

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，再由错位相减得

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

++

1

2n

)-

2n+1

2n+1

，由此可知Sn=5-

2n+5

2n

．
（Ⅲ）由Sn=(a2+a3++an+1)-

1

2

(a1+a2++an)得Tn-a1+an+1-

1

2

Tn=Sn．由此可知T_n=2S_n+2a₁-2a_n+1=12-

n2+4n+6

2n-1

．

解答：解：（Ⅰ）由条件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，又n=1时，

an

n2

=1，
故数列{

an

n2

}构成首项为1，公式为

1

2

的等比数列．从而

an

n2

=

1

2n-1

，即an=

n2

2n-1

．
（Ⅱ）由bn=

(n+1)2

2n

-

n2

2n

=

2n+1

2n

得Sn=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

，

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，
两式相减得：

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

，所以Sn=5-

2n+5

2n

．
（Ⅲ）由Sn=(a2+a3+…+an+1)-

1

2

(a1+a2+…+an)得Tn-a1+an+1-

1

2

Tn=Sn．
所以T_n=2S_n+2a₁-2a_n+1=12-

n2+4n+6

2n-1

．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．