Question

（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：
若则，。

Answer 1

（I）；（II）（i）；（ii）．

试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，
，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，故期望．
试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
   ，
 ．
（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的原则；3、二项分布的期望．