Question

已知向量，，a为实常数，
（1）求y关于x的函数解析式f（x）；
（2）设函数g（x）=af（x），且g（x）的最大值是，求a值及此时的函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据向量数量积的坐标公式，结合三角恒等变换的公式加以计算，即可得到，其中x；
（2）由题意，得．因为，所以的最大值为1且最小值为-．由此分a的正负进行讨论，结合题意建立关于a的方程，解出符合题意的a值为，得到
，再根据正弦函数的单调区间公式即可算出此时的函数g（x）的单调增区间．
解答：解（1）∵，向量，
∴…（1分）
化简，可得…（4分）
（2）由（1），可得，
∵，∴，…（6分）
①当a＞0时，，，
解之得； …（8分）
②当a=0时，g（x）=0，不合题意，舍去；  …（9分）
③当a＜0时，，，无解  …（10分）
综上所述，且g（x）表达式为，
再令，…（12分）
解之得，
因为，所以取k=0算出交集，可得函数g（x）的单调增区间为…（14分）
点评：本题给出向量的数量积，得到正弦型三角函数表达式，求函数的单调区间与最值．着重考查了向量的数量积运算、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，考查了分类讨论数学思想，属于中档题．