Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1，
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；
（3）若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围。

Answer 1

（1）证明：在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°， ∴AB=2， ∴ =3， ∴， ∴BC⊥AC， ∵平面ACEF⊥平面ABCD， 平面ACFE∩平面ABCD=AC， 平面ABCD， ∴BC⊥平面ACFE。

（2）解：取FB中点为G，连结AG、CG， ∵， ∴AB=AF， ∴AG⊥FB， ∵CF=CB=1， ∴CG⊥FB， ∴∠AGC=θ， ∵BC⊥CF， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ①当M与F重合时，； ②当M与E重合时，过B作BN∥CF， 且使BN=CF，连结EN、FN， 则平面， ∵BC⊥CF，又∵AC⊥CF， ∴CF⊥平面ABC， ∴BN⊥平面ABC， ∴∠ABC=θ， ∴θ=60°， ∴； ③当M与E、F都不重合时， 令， 延长AM交CF的延长线于N，连结BN， ∴N在平面MAB与平面FCB的交线上， ∵B在平面MAB与平面FCB的交线上， ∴平面MAB∩平面FCB=BN， 过C作CH⊥NB交NB于H ，连结AH， 由（Ⅰ）知，AC⊥BC， 又∵AC⊥CN， ∴AC⊥平面NCB， ∴AC⊥NB，　 又∵CH⊥NB，AC∩CH=C， ∴NB⊥平面ACH， ∴AH⊥NB， ∴∠AHC=θ， 在△NAC中， 可求得NC=， 从而，在△NCB中， 可求得CH=， ∵∠ACH=90°， ∴AH=， ∴， ∵， ∴， 综上得。