Question

过点（-1，1）与曲线f（x）=x³-x²-2x+1相切的直线有

 

条（以数字作答）

Answer 1

分析：设出切点坐标，求出曲线在切点处的导数，由点斜式得切线方程，代入定点坐标求切点个数得答案．

解答：解：由f（x）=x³-x²-2x+1，得f′（x）=3x²-2x-2．
设切点为(x0，x03-x02-2x0+1)，
则f′(x0)=3x02-2x0-2，
∴过切点的直线方程为y-x03+x02+2x0-1=(3x02-2x0-2)(x-x0)．
∵切线过点（-1，1），∴1-x03+x02+2x0-1=(3x02-2x0-2)(-1-x0)，
整理得：x03+x02-x0-1=0，
解得：x₀=-1或x₀=1．
∴过点（-1，1）与曲线f（x）=x³-x²-2x+1相切的直线有2条．
故答案为：2．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上抹点的切线方程，解答的关键是正确区分所求的是曲线上在某点处的切线方程还是过某点的切线方程，是中档题也是易错题．