Question

（本小题满分16分）

已知数列{a_n}的通项公式为（nÎN^*）．

（1）求数列{a_n}的最大项；

（2）设，试确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；

（3）设，问：数列{a_n}中是否存在三项，，，

使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（本小题满分16分）

解：（1）由题意a_n = 2 + ,随着n的增大而减小,所以{a_n}中的最大项为a₁ = 4．……………   4分

（2）b_n =  =  = ，

若{b_n}为等比数列，则b – b_nb_n+2= 0（nÎN^* ）

所以 [(2 + p)3ⁿ⁺¹ ＋(2 – p)]² – [(2 + p)3ⁿ ＋(2 – p)][(2 + p)3ⁿ⁺² ＋(2 – p)] = 0（nÎN^*），

化简得（4 – p²）(2·3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ⁺² – 3ⁿ ）= 0即– (4 – p²）·3ⁿ·4 = 0, 解得p =±2．……………7分

反之,当p = 2时,b_n = 3ⁿ,{b_n}是等比数列;当p = – 2时,b_n = 1,{b_n}也是等比数列．

所以,当且仅当p = ±2时{b_n}为等比数列． ………………………………………………10分

（3）因为，，，

若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，

所以=，……………12分

化简得（*），

因为，所以，，

所以，，

（*）的左边，

右边，所以（*）式不可能成立，

故数列{a_n}中不存在三项，，，使数列，，是等差数列． ………16分

附加题参考答案