Question

17．如果△A₁B₁C₁ 的三个内角的余弦值分别等于△A₂B₂C₂ 的三个内角的正弦值，则（　　）

• A． △A₁B₁C₁ 和△A₂B₂C₂ 都是锐角三角形
• B． △A₁B₁C₁ 和△A₂B₂C₂ 都是钝角三角形
• C． △A₁B₁C₁ 是钝角三角形，△A₂B₂C₂ 是锐角三角形
• D． △A₁B₁C₁ 是锐角三角形，△A₂B₂C₂ 是钝角三角形

Answer 1

分析 首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A₁B₁C₁是锐角三角形；然后假设△A₂B₂C₂是锐角三角形，则由cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α）推导出矛盾；再假设△A₂B₂C₂是直角三角形，易于推出矛盾；
最后得出△A₂B₂C₂是钝角三角形的结论．

解答 解：因为△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值均大于0，
所以△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值也均大于0，则△A₁B₁C₁是锐角三角形．
若△A₂B₂C₂是锐角三角形，由：
sinA₂=cosA₁=sin（$\frac{π}{2}$-A₁）
sinB₂=cosB₁=sin（$\frac{π}{2}$-B₁）
sinC₂=cosC₁=sin（$\frac{π}{2}$-C₁），
得：A₂=$\frac{π}{2}$-A₁；
B₂=$\frac{π}{2}$-B₁；
C₂=$\frac{π}{2}$-C₁；，
那么，A₂+B₂+C₂=$\frac{π}{2}$，这与三角形内角和是π相矛盾；
若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨设A₂=$\frac{π}{2}$，
则sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范围内无值．
所以△A₂B₂C₂是钝角三角形．
故选：D．

点评 本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式，同时考查反证法思想，属于中档题．