Question

19．设P、Q是单位正方体AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）证明：PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）求异面直线PQ和B₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）可连接AD，AB₁，根据条件即可得出PQ为△AB₁D₁的中位线，从而得出PQ∥AB₁，这样根据线面平行的判定定理便可得出PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）根据PQ∥AB₁，从而可得出∠AB₁C为异面直线PQ和B₁C所成的角，并容易得出∠AB₁C=60°，这样即得出了异面直线PQ和B₁C所成的角．

解答 解：（1）如图，连接AD，AB₁；

根据条件知P，Q分别为线段AD₁，D₁B₁的中点；
∴PQ为△AB₁D₁的中位线；
∴PQ∥AB₁，AB₁?平面AA₁B₁B，PQ?平面AA₁B₁B；
∴PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）∵PQ∥AB₁；
∴AB₁和B₁C的夹角便为异面直线PQ和B₁C所成角；
即∠AB₁C为异面直线PQ和B₁C所成的角；
连接AC，则△ACB₁为等边三角形；
∴∠AB₁C=60°；
∴异面直线PQ和B₁C所成的角为60°．

点评 考查正方形中心的概念，三角形中位线的性质，线面平行的判定定理，以及异面直线所成角的定义及其求法．