Question

已知函数，其中x∈[0，2π]，求函数f（x）的单调区间和最值．

Answer 1

解：∵函数y=（x-2sinx），∴y′=（1-2cosx）．
令y′＜0，可得 cosx＞．
又 x∈[0，2π]，故当x∈（0，）或x∈（，2π）时，y′＜0，函数y单调递减．
同理可得，x∈（，） 时，y′＞0，函数y单调递增．
故最小值在x= 或x=2π处取得，
而当x=时，函数f（x）的值等于，当x=2π时，函数f（x）的值等于π，
故当x=时，函数f（x）有最小值等于．
由题意可得最大值在x=0 或x=处取得，
而当x=0时，函数f（x）的值等于0，当x= 时，函数f（x）的值等于，
故当x= 时，函数f（x）取得最大值等于．
综上可得，当x=时，函数f（x）有最小值等于；
当x= 时，函数f（x）取得最大值等于．
分析：先求导数，因为是求出单调区间，根据函数的单调区间求出函数的最值．
点评：本题主要考查用导数法求函数的单调区间，尤其要注意三角函数的求导公式以及函数的定义域，根据函数的单调区间求出函数的最值，属于基础题．