Question

（2013•资阳模拟）已知函数f(x)=2sin(x-

π

3

)cosx+sinxcosx+

3

sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，A＞B，f(B)=

3

，AC=4

3

，求BC边的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（II ）利用正弦定理和正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2(

1

2

sinx-

3

2

cosx)cosx+sinxcosx+

3

sin2x
=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)
=sin2x-

3

cos2x
=2sin(2x-

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）．
∴f（x）单调递增区间是[-

π

12

+kπ，  

5π

12

+kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f(B)=

3

得sin(2B-

π

3

)=

3

2

．
∵A＞B，∴0＜B＜

π

2

，则-

π

3

＜2B-

π

3

＜

2π

3

，
从而2B-

π

3

=

π

3

，∴B=

π

3

．
由正弦定理，得

4 3

sin π 3

=

BC

sin∠BAC

，即BC=8sin∠BAC．
∵B=

π

3

，∠BAC＞B，∴

π

3

＜∠BAC＜

2π

3

．
∴

3

2

＜sin∠BAC≤1，4

3

＜BC≤8．
∴当∠BAC=

π

2

，C=

π

6

时，BC取得最大值8．

点评：本题考查了两角和的正弦公式、正弦函数的单调性、正弦定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．