Question

6．已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（c＜4），其导函数y=h'（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）．
（1）求a，b的值； 
（2）若函数f（x）在区间（m，m+$\frac{1}{2}$）上是单调增函数，求实数m的取值范围；
（3）若对任意k∈[-1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导函数y=h′（x）的图象确定a，b的值即可；
（2）要使求函数f（x）在区间（m，m+$\frac{1}{2}$）上是单调增函数，则f'（x）的符号没有变化，可以求得实数m的取值范围；
（3）函数y=kx的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，构造函数，求出函数的最小值即可得到c的范围．

解答 解：（1）二次函数h（x）=ax²+bx+c的导数为：
y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，
导函数y=h′（x）过点（5，0）和（0，-10），
代入h′（x）=2ax+b得：
b=-10，a=1；
（2）由（1）得：h（x）=x²-10x+c，h′（x）=2x-10，
f（x）=8lnx+h（x）=8lnx+x²-10x+c，
f′（x）=$\frac{8}{x}$+2x-10=$\frac{2（x-1）（x-4）}{x}$，
当x变化时 

	（0，1）	1	（1，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（4，+∞）．
单调递减区间为（1，4），
若函数在（m，m+$\frac{1}{2}$）上是单调递增函数，则有 $\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m+\frac{1}{2}≤1}\end{array}\right.$或者m≥4，解得0≤m≤$\frac{1}{2}$或m≥4；
故m的范围是：[0，$\frac{1}{2}$]∪[4，+∞）．
（3）若对任意k∈[-1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，
即对k=-1时，x∈（0，8]，不等式c≤-x²-8lnx+10x恒成立，
设g（x）=-x²-8lnx+10x，x∈（0，8]，
则g′（x）=$\frac{-2（x-1）（x-4）}{x}$，x∈（0，8]，
令g′（x）＞0，解得：1＜x＜4，令g′（x）＜0，解得：4＜x≤8或0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，4）递增，在（4，8]递减，
故g（x）的最小值是g（1）或g（8），
而g（1）=9，g（8）=16-24ln3＜4＜9，c＜4，
故c≤g（x）_min=g（8）=16-24ln3，
即c的取值范围是（-∞，16-24ln3]．

点评 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．综合性较强，难度较强．