Question

12．对于非零复数a，b，c，有以下七个命题：
①a+$\frac{1}{a}$≠0；
②若a=-$\overline{a}$，$\overline{a}$为a的共轭复数，则a为纯虚数；
③（a+b）²=a²+2ab+b²；
④若a²=ab，则a=b；
⑤若|a|=|b|，则a=±b；
⑥若a²+b²+c²＞0，则a²+b²＞-c²；
⑦若a²+b²＞-c²，则a²+b²+c²＞0．
其中，真命题的个数为（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 举例a=i，即可判断①错；运用共轭复数的概念，计算即可判断②对；由复数乘法的运算性质，可得③对；由两数的乘积性质可得④对；当a=i，b=1，可得⑤错；当a=1，b=1+i，c=1-i，即可判断⑥错；
运用不等式的性质：两边同时加上一个实数或整式，不等式符号不改变，即可判断⑦对．

解答 解：对于非零复数a，b，c，
①当a=i，则a+$\frac{1}{a}$=i+$\frac{1}{i}$=i-i=0，故①错；
②若a=-$\overline{a}$，$\overline{a}$为a的共轭复数，且a为非零复数，
设a=x+yi（x，y∈R），即有x+yi=-（x-yi），可得x=0，y≠0，则a为纯虚数，故②对；
③由复数乘法的运算性质可得（a+b）²=a²+2ab+b²，故③对；
④若a²=ab，即a（a-b）=0，由a为非零复数，则a=b，故④对；
⑤当a=i，b=1，则|a|=|b|=1，则a=±b不成立．故⑤错；
⑥当a=1，b=1+i，c=1-i，有a²+b²+c²=1+2i-2i=1＞0，但a²+b²=1+2i，c²=-2i，
无法比较a²+b²，-c²，故⑥错；
⑦若a²+b²＞-c²，可得不等式左右两边均为实数，由不等式的性质：两边同时加上一个实数或整式，
不等式符号不改变．则a²+b²+c²＞0．故⑦对．
综上可得，真命题的个数为4．
故选：C．

点评 本题考查复数的概念、运算和性质，注意与实数比较，考查判断能力和推理能力，属于基础题和易错题．