Question

如图，已知直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，底面ABCD为菱形，∠DAB=120°，E为线段CC₁的中点，F为线段BD₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）当的比值为多少时，DF⊥平面D₁EB，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC₁，由题意可知点F为AC₁的中点．
∵因为点E为CC₁的中点，
∴在△ACC₁中，EF∥AC．
又∵EF面ABCD，AC面ABCD，
∴EF∥面ABCD．
（Ⅱ）解：当 时，DF⊥平面D₁EB．  
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=120°，
∴ 
∵四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴四边形DBB₁D₁为矩形．
又 ，∴BD=DD₁，
∴四边形DBB₁D₁为正方形，
∴DF⊥D₁B
在直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD，
∴AC⊥DD₁
∵四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥面DBB₁D₁．
∵DF面DBB₁D₁，
∴AC⊥DF，
又EF∥AC，
∴EF⊥DF．
∵EF面D₁EB，D₁B面D₁EB，EF∩D₁B=F，
∴DF⊥平面D₁EB．