Question

（1）已知两个等比数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，若数列{a_n}唯一，求a的值；
（2）是否存在两个等比数列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成公差不为0的等差数列？若存在，求{a_n}，{b_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）{a_n}要唯一，∴当公比时，
由且
，
∵a＞0，
∴最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根），
∴，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
∴当公比时，等比数列{a_n}的首项为a，其余各项均为常数0，唯一，
此时由，可推得3a-1=0，符合；
综上：。
（2）假设存在这样的等比数列，公比分别为q₁，q₂，
则由等差数列的性质可得：，
整理得：，
要使该式成立，则或，
此时数列公差为0与题意不符，
所以不存在这样的等比数列。