Question

设z∈C，且是

z

z-1

纯虚数，求|z+i|的最大值．

Answer 1

分析：设z=x+yi，根据

z

z-1

=

x2+y2-x

(x-1)2+y2

+

y

(x-1)2+y2

i 是纯虚数，可得 (x-

1

2

)2+y²=

1

4

（y≠0），表示以C（

1

2

，0）为圆心，以r=

1

2

为半径的圆上（除去圆与x轴的2个交点）．而|z+i|表示圆上的点与点A（0，-1）之间的距离，求得AC的值，则|z+i|的最大值为AC+r，运算可得结果．

解答：解：设z=x+yi，x、y∈R，由于

z

z-1

=

x+yi

x-1+yi

=

(x+yi)(x-1-yi)

(x-1+yi)(x-1-yi)

=

x2+y2-x

(x-1)2+y2

+

y

(x-1)2+y2

i 是纯虚数，
故有

x2+y2-x=0 y≠0

，即 (x-

1

2

)2+y²=

1

4

 （y≠0），表示以C（

1

2

，0）为圆心，以r=

1

2

为半径的圆上（除去圆与x轴的2个交点）．
而|z+i|表示圆上的点与点A（0，-1）之间的距离，求得AC=

1 4 +1

=

5

2

，
故|z+i|的最大值为AC+r=

1+ 5

2

．

点评：本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，两个复数差的绝对值的几何意义，求复数的模，属于基础题．