Question

（2012•顺义区二模）已知函数f（x）=（a-1）x²+2lnx，g（x）=2ax，其中a＞1
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的正负，可得函数h（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（a-1）x²+2lnx，
∴f′(x)=2(a-1)x+

2

x

∴f′（1）=2a
∵f（1）=a-1
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-（a-1）=2a（x-1），即y=2ax-a-1；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），则h′(x)=2(a-1)x+

2

x

+2a=

2(x+1)[(a-1)x-1]

x

（x＞0）
令h′（x）＞0，可得x＜-1或x＞

1

a-1

；令h′（x）＜0，可得-1＜x＜

1

a-1

，
∴函数h（x）的单调增区间是（-∞，-1），（

1

a-1

，+∞）；单调减区间是（-1，

1

a-1

）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．